Я.Я. Голота

ЦНИ Санкт-Петербургского государственного технического университета

На Международной конференции по мягким вычислениям и измерениям, прошедшей в Санкт-Петербурге в 1998 году, было представлено пять докладов, в которых рассматривались разные стороны логики противоположностей - логики антонимов (ЛА). На нынешней конференции в докладах тех же авторов (Я.Я. Голота, В.Н. Тисенко, Д.С. Фальков) продолжается ранее начатая тема.

Формальный аппарат ЛА выступает в роли альтернативы теории нечётких множеств Л.А. Заде. Все задачи, решаемые средствами Заде, могут быть решены средствами ЛА + задачи, которые, в принципе, не могут быть решены в рамках теории Заде. ЛА и теория Заде отличаются друг от друга и внешне, и как формализации некоторых миропониманий, и по отправным моментам.

Автор ЛА и данных тезисов намерен отметить, как минимум, 12 побудительных причин, стимулировавших процесс научного поиска, завершившегося построением ЛА. Знакомство с ними поможет определить место ЛА среди других непрерывнозначных (непрерывных) логик, поможет понять, при решении каких задач может быть полезен аппарат ЛА.

Публикация относится к жанру, в котором неминуем элемент субъективности и лиризма. Автор приносит свои извинения тем, кто находит это неуместным в научном издании.

1. Как дерево вырастает из малозаметного семечка, так и новая теория начала своё развитие из, казалось бы, случайного замечания, из непонимания, вызвавшего досаду, из неожиданных ассоциаций. Примерно в 1962 году Б. Миркин, в те годы аспирант биологического факультета, приехав из очередной экспедиции, рассказал автору о замеченной им закономерности в распределении трав: чем меньше влаги, тем больше засухоустойчивых растений, и эта зависимость выражается посредством логарифма. Автор, тоже аспирант, специализировался в математической логике. “Сухость” была им воспринята как отрицание влажности (сухость – не-влажность). Но причём логарифм? В то время в сознании автора формальные средства, принятые в математике, значительно отличались от формальных средств логики. Элементарные функции казались очень далёкими от всего того, что используется в логике. Но не было оснований не верить другу, как не было оснований сомневаться в том, что “влажность” и “сухость” отрицают друг друга. Итак, как связаны между собой отрицания и элементарные функции? В том, что они связаны друг с другом, сомнений почти не было. Но как?

Стремление ответить на этот вопрос было первым и основным мотивом всех дальнейших исследований.

2. Понимание отрицания в логике - весьма сложный вопрос. Он нашёл отражение в работах ряда исследователей. Однако результата, который бы принимался, если не всеми, то многими, как кажется автору, получено не было. Но даже если бы такая концепция отрицания была создана, она не была бы основанием для отказа от построения логики с другим подходом к отрицанию. Остановимся намного на понимании отрицания. Нужно предупредить, и это должен учитывать читатель, что автор вовсе не претендует на то, чтобы сказанное ниже относилось ко всем случаям употребления отрицания. Однако, думается, что предлагаемое понимание отрицания весьма общее, относящееся ко многим случаям его употребления.

Традиционная семантика, восходящая ко временам деятельности Аристотеля, предлагает под O А понимать всё, что отличается от А. Диаграмма Венна полностью согласуется с таким пониманием отрицания. Отрицание как дополнение понять и принять легко в одном лишь случае, когда рассматриваемое множество объектов конечно. Если же это условие не выполнено, то возникают, как кажется и не без оснований, серьёзные, даже, можно сказать, непреодолимые трудности. Но именно такие случаи обычны.

Люди часто сами произносят и слышат от других лингвистические конструкции с отрицанием. При этом они, как правило, уверены в том, что их верно понимают и они верно понимают других. Трудно согласиться с тем, что ощущение этого понимания происходит в силу подсознательного принятия даваемого традиционной семантикой истолкования отрицания. Скорее наоборот, если бы люди, когда вся совокупность рассматриваемых объектов неограниченна, следовали традиционной семантике, то они бы в лучшем случае с трудом понимали высказывания с отрицанием, а скорее всего - просто бы не понимали друг друга. По-видимому, люди понимают друг друга, произнося отрицания, в силу того, что под O А понимают не всё, что отличается от А, а некоторый вполне определённый объект, который в каком-то смысле противоположен объекту А. Вообще, “противоположность” в языке может быть выражена весьма по-разному: с помощью отрицания и без него, посредством одного слова и посредством сочетания слов, либо посредством одного или нескольких предложений. Лингвистические конструкции с частицей “не” - довольно частный случай противоположностей, встречаемых в языке.

Традиционное понимание отрицания как дополнения немыслимо без введения в рассмотрение универсума. Но разве, говоря, например, о “сухости”, оценивая каким-либо образом “сухость” чего-то, мы кроме “влажности”, на фоне которой (или в сравнении с которой) воспринимается "сухость", рассматриваем ещё что-либо, какое-нибудь множество объектов, которые бы могли составить универсум? Или ещё такой пример. Допустим, что речь идёт об оценке работоспособности какого-то технологического оборудования. Удастся ли оценить работоспособность без учёта неработоспособности? Думается, нет. При этом будет ли учитываться ещё что-нибудь? Вряд ли. Во всяком случае, трудно себе такое представить.

Во многих задачах (исследованиях), скорее всего, присутствует такая безотчётная умозрительная схема: в поле зрения находится множество некоторых объектов (некоторый “мир”), в нём выделяется для более подробного изучения какой-то объект А, вместе с которым в качестве неминуемого партнёра объекта А невольно вовлекается в рассмотрение (в каких-то случаях - в активное рассмотрение, а в каких-то других случаях - в пассивное рассмотрение) другой объект “мира”, в каком-то смысле противоположный объекту А. Эти объекты прямо или косвенно сравниваются друг с другом, один из них является как бы фоном другого. При этом весь остальной “мир” явно не учитывается, он будто уходит на задний план. По ходу решения задачи может возникнуть необходимость в рассмотрении других объектов. Но и они в этом случае будут рассматриваться парами. Таким образом, “мир” состоит из пар объектов, противоположных в чём-то друг другу. Эти пары, составляя "мир", логически связаны между собой. И именно в силу этой связи они входят в изучаемый "мир". При таком понимании "мира" отпадает необходимость в оценке самого "мира" какой-либо константой, поскольку он активно не рассматривается в целом ни на каком этапе решения задачи.

Обратимся в качестве примера к теории вероятностей. В ней справедливо равенство Р(А) + Р(O А) = 1, связывающее противоположные события А и O А с универсумом U. Как видим, универсум оценен единицей (согласно второй аксиоме аксиоматики Колмогорова Р(U)=1). Естественны такие вопросы. Почему универсуму поставлена в соответствие именно константа 1, а не какое-нибудь другое число? Что будет, если в уже упомянутой аксиоматике вместо 1 написать, например, 2 или const? Какие ассоциации, связывающие реальный мир с формальной системой (аксиоматикой Колмогорова), оправдывают выбор единицы? Вопросы могут показаться (или оказаться) наивными. Можно говорить об их неуместности, о невежественности их задающего. Можно рекомендовать в качестве ответа познакомиться с теорией вероятностей. Но тем не менее вопросы возникают.

Конструкции теории вероятностей хорошо соответствуют диаграмме Венна. В ней универсум представлен прямоугольником, т.е. ограниченной в своих пределах фигурой. Вот так представляемый универсум теория вероятностей связывает с единицей. Таким образом универсум ассоциирует (или может ассоциировать) в нашем сознании с некоторой ограниченностью, будь то геометрический образ или число. Но как эта схема согласуется с представлением о неограниченности, о непознаваемости в полной мере реального мира, о неограниченности процесса познания? Опять можно говорить о неправомочности подобных вопросов. Однако от этого они не перестанут возникать. Думается, надо стремиться к возможно большей согласованности формальных конструкций, в частности, в логике, с общенаучным, мировоззренческим философским представлением о мире. В этом плане нет достаточно веских оснований связывать "мир" с какой-нибудь константой. А если уж в ходе решения задачи никак не удаётся уйти от такой оценки, то естественно оценить "мир" бесконечностью.

Вторым мотивом в разработке теории было стремление формализовать (создать) логику с иным подходом к отрицанию, чем тот, который присутствует в ранее построенных теориях. Новое понимание отрицания, о котором говорилось выше, кажется более продуктивным, более естественным, более распространённым в нематематических рассуждениях, чем традиционное.

Роль противоположностей в постижении мира во всех его проявлениях чрезвычайно велика. Вряд ли в принципе возможно глубокое познание чего-либо (вещей, их сторон и функций, процессов, свойств, обстоятельств, ситуаций и пр.) без обращения к противоположности познаваемого. В первую очередь это относится к различным оценкам, которыми сопровождается любое познание. Очевидно значение, которое может иметь логика, не содержащая отрицания-дополнения, но содержащая отрицание - противоположность (или противоположность в качестве отрицания).

Коротко остановимся на основных моментах логики, отражающей соображения, высказанные выше. Возьмём, например, противоположности "знание - невежество". Вместе они ничего не образуют, а потому нет оснований для наглядности их связывать так, как связаны А и O А в диаграмме Венна. Если бы мы связали противоположности согласно диаграмме Венна, то нам бы пришлось осмысливать и оценивать объединение противоположностей, т.е. универсум. Но именно в этом видится непреодолимая естественным путём трудность. Как же связаны между собой истинностные оценки противоположностей внутри одной пары? Чем больше оценка одного, тем меньше оценка другого, и наоборот. Например, чем больше болезней, тем меньше здоровья. В сумме же оценки никакой константы не образуют. Обе отмеченные особенности оценок противоположностей представляются наиболее характерными чертами новой логики.

3. В двузначной математической логике рассматривают "истину" и "ложь". В формальной логике не принято уточнять, о какой истине идёт речь, как эта истина связана с нашими знаниями. В философии рассматривают истины относительные и абсолютные. Беря отрицания этих истин, можно ввести аналогичные ложные утверждения. Относительные истины соответствуют неполным знаниям, знаниям на некоторый момент времени, на некотором этапе постижения закономерностей реального мира. Абсолютная истина - это некоторый предел, связанный с неполным знанием всех закономерностей внешнего мира. По мере углубления и расширения наших знаний относительные истины претерпевают изменения. Этот процесс изменения относительных истин, связанный с процессом познания мира, несмотря на временные, быть может, отступления и "зигзаги", вполне направленный. Относительные истины в любой области человеческой деятельности со временем приближаются к своему абсолюту, к абсолютной истине. Абсолютная истина, несмотря на постоянное приближения к ней, никогда не будет предметом человеческого обладания, никогда относительные истины не станут абсолютными, никогда абсолютные истины не будут достигнуты. Это объясняется неисчерпаемостью материи, неисчерпаемостью связей, закономерностей, существующих в материальном мире. Процесс познания неограничен, чтобы ни изучалось человеком. Эта неограниченность (иными словами, бесконечность) в познании невольно переносится на наше представление об истине. Абсолютная истина ассоциирует с пределом в бесконечном процессе. В математике (в теории пределов) много внимания уделяют построениям, связанным с бесконечностью. Бесконечность выступает как нечто, что не может быть чем-либо ограничено. Философские представления, связанные с бесконечностью в познании, хорошо согласуются с представлением о бесконечности в математике. Если истинность утверждений можно каким-то образом оценивать, то кажется естественным соотносить относительным истинам числа (причём, чем "ближе" относительная истина к абсолютной, тем больше число, ей соответствующее), а абсолютную истину (точнее, множество абсолютных истин) символизировать знаком бесконечности. Хотелось бы построить логическую формальную систему, в которой было бы место для относительных и абсолютных истин. Кажется очевидным (с учётом сказанного выше), что в такой логике абсолютная истина должна оцениваться бесконечностью, относительные истины - положительными числами, а абсолютная ложь – нулем.

Третьим мотивом в построении формальных систем было создание логики, в которой истинностный функционал принимает значения на всей положительной полуоси т.е. от нуля до бесконечности. Продолжение следует.